Question

14．某青年教師有一專項(xiàng)課題是進(jìn)行“學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的關(guān)系”的研究，他調(diào)查了某中學(xué)高二年級(jí)800名學(xué)生上學(xué)期期末考試的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)，把成績(jī)按優(yōu)秀和不優(yōu)秀分類得到的結(jié)果是：數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有60人，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的有140人，物理成績(jī)優(yōu)秀但數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的有60人．
（1）能否在犯錯(cuò)概率不超過0.001的前提下認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)？
（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，從全體高二年級(jí)學(xué)生成績(jī)中，有放回地隨機(jī)抽取4名學(xué)生的成績(jī)，記抽取的4份成績(jī)中數(shù)學(xué)、物理兩科成績(jī)恰有一科優(yōu)秀的份數(shù)為X，求X的分布列和期望E（X）．
附：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010
k0	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）利用公式計(jì)算出K²，進(jìn)而得出結(jié)論．
（2）隨機(jī)抽取1名學(xué)生的成績(jī)，數(shù)學(xué)、物理兩科成績(jī)恰有一科優(yōu)秀的概率為$p=\frac{200}{800}=\frac{1}{4}$，利用由X～B（4，$\frac{1}{4}$），即可得出X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）列出的2×2列聯(lián)表為：

	數(shù)學(xué)成績(jī)	物理成績(jī)	合計(jì)
優(yōu)秀	200	120	320
不優(yōu)秀	600	680	1280
合計(jì)	800	800	1600

…（3分）
∴${K^2}=\frac{{1600{{（200×680-600×120）}^2}}}{800×800×320×1280}=25．＞10.828$；
故能在犯錯(cuò)概率不超過0.001的前提下認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)系．…（6分）
（2）隨機(jī)抽取1名學(xué)生的成績(jī)，數(shù)學(xué)、物理兩科成績(jī)恰有一科優(yōu)秀的概率為$p=\frac{200}{800}=\frac{1}{4}$…（7分）
∵X～B（4，$\frac{1}{4}$），∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
p	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{256}$

…（10分）
∴$E（X）=np=4×\frac{1}{4}=1$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)思想、二項(xiàng)分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．