Question

如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為線段A₁B上的動點，則下列結論錯誤的是（　　）

• A、DC₁⊥D₁P
• B、平面D₁A₁P⊥平面A₁AP
• C、∠APD₁的最大值為90°
• D、AP+PD₁的最小值為

  2+ 2

Answer 1

考點：棱柱的結構特征

專題：應用題,空間位置關系與距離

分析：利用DC₁⊥面A₁BCD₁，可得DC₁⊥D₁P，A正確
利用平面D₁A₁BC，⊥平面A₁ABB₁，得出平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，B正確；
當A₁P=

2

2

時，∠APD₁為直角角，當0＜A₁P＜

2

2

時，∠APD₁為鈍角，C錯；
將面AA₁B與面ABCD₁沿A₁B展成平面圖形，線段AD₁即為AP+PD₁的最小值．

解答：解：∵A₁D₁⊥DC₁，A₁B⊥DC₁，∴DC₁⊥面A₁BCD₁，D₁P?面A₁BCD₁，∴DC₁⊥D₁P，A正確
∵平面D₁A₁P即為平面D₁A₁BC，平面A₁AP 即為平面A₁ABB₁，切D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，
∴平面D₁A₁BC，⊥平面A₁ABB₁，∴平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，∴B正確；
 當0＜A₁P＜

2

2

 時，∠APD₁為鈍角，∴C錯；
將面AA₁B與面A₁BCD₁沿A₁B展成平面圖形，線段AD₁即為AP+PD₁的最小值，

在△AA₁D₁中，利用余弦定理解三角形得AD₁=

2+ 2

，∴D正確．
故選：C

點評：本題考查正方體的結構特征，空間位置關系的判定，轉化的思想．