已知函數(shù)f（x）＝＋lnx.

（1）若函數(shù)f（x）在[1，＋∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）設數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，其中bn＝，求證：當n≥2時，1＋lnn＞Sn.

 

（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）先求導函數(shù)，利用導函數(shù)值在[1，＋∞）上恒非負可求的a的取值范圍；（2）選取滿足條件（1）的某個a值，得到恒成立的不等式，再取相應的x，得到一系列不等式，求和即可.

試題解析： （Ⅰ）由已知得， 1分

依題意得對任意x∈[1，＋∞）恒成立

若a＜0，則符合題意要求. 1分

若a＞0，則對任意x∈[1，＋∞）恒成立， 2分

而

∴a≥1 1分

所以a的取值范圍為 1分

（2）由（Ⅰ）知：當a＝1時，對恒成立. 1分

當n≥2時，令，，得， 3分

再將這n－1個不等式相加得：

則：，即原不等式成立. 3分

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，不等式證明

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動點，則下列結論錯誤的是（　　）
A、DC1⊥D1P
B、平面D1A1P⊥平面A1AP
C、∠APD1的最大值為90°
D、AP+PD1的最小值為
2+
2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若給定三元集合{1，x，x2-x}，則實數(shù)x的取值范圍為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用五點法畫出函數(shù)f（x）=
2
sin（2x-
π
4
）+1在[-
π
2
，
π
2
]上的圖象．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是BB1，BC的中點，則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的投影的面積為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2015屆四川省成都市新都區(qū)高三診斷測試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

定義一：對于一個函數(shù)f（x）（x∈D），若存在兩條距離為d的直線y＝kx＋m1和y＝kx＋m2，使得在x∈D時，kx＋m1≤f（x）≤kx＋m2 恒成立，則稱函數(shù)f（x）在D內有一個寬度為d的．

定義二：若一個函數(shù)f（x），對于任意給定的正數(shù)?，都存在一個實數(shù)x0，使得函數(shù)f（x）在[x0，＋∞）內有一個寬度為?的，則稱f（x）在正無窮處有．下列函數(shù)：

①f（x）＝lgx，②f（x）＝，③f（x）＝－，④f（x）＝，⑤f（x）＝2x，⑥f（x）＝3x－

其中在正無窮處有的函數(shù)的序號是___________．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2015屆四川省成都市新都區(qū)高三診斷測試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

△ABC中，|AB|＝10，|AC|＝15，∠BAC＝，點D是邊AB的中點，點E在直線AC上，且，直線CD與BE相交于點P，則線段AP的長為（ ）

A. B. C.2 D.2

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2015屆四川省成都市新都區(qū)高三診斷測試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且周期為2，若當x∈[0，1）時，f（x）＝2x－1，則f（）的值是________________.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2015屆四川省成都市高三10月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知圓x2＋y2＋mx－＝0與拋物線y＝x2的準線相切，則m＝ _________ ．

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案