【題目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都相等,平面BB1C1C⊥平面ABC,BC1=C1C.
(1)求證:A1B⊥平面AB1C1;
(2)求二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值.
【答案】(1)見解析(2).
【解析】
(1)設(shè)直線AB1與直線BA1交于點G,連結(jié)C1G,推導(dǎo)出A1B⊥AB1,C1G⊥A1B,由此能證明A1B⊥平面AB1C1.
(2)取BC中點O為坐標(biāo)原點,分別以OA,OC,OC1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值.
(1)證明:設(shè)直線AB1與直線BA1交于點G,連結(jié)C1G,
∵四邊形ABB1A1是菱形,∴A1B⊥AB1,
∵BC1=C1C=C1A1,G為A1B的中點,∴C1G⊥A1B,
∵AB1∩C1G=G,∴A1B⊥平面AB1C1.
(2)解:取BC中點O為坐標(biāo)原點,如圖,分別以OA,OC,OC1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系:
設(shè)棱柱的棱長為2,則C(0,1,0),C1(0,0,),A(,0,0),B(0,﹣1,0),
(,0,),(,1,0),(0,2,0),
設(shè)平面A1AC1的一個法向量(x,y,z),
則,取x=1,得(1,,1),
設(shè)平面AB1C1的一個法向量為(a,b,c),
則,取x=1,得(1,0,1),
設(shè)二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角為θ,
則cosθ.
∴二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種治療新型冠狀病毒感染肺炎的復(fù)方中藥產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,質(zhì)量指標(biāo)越大表明質(zhì)量越好,為了提高產(chǎn)品質(zhì)量,我國醫(yī)療科研專家攻堅克難,新研發(fā)出、兩種新配方,在兩種新配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取數(shù)量相同的樣本,測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,規(guī)定指標(biāo)值小于時為廢品,指標(biāo)值在為一等品,大于為特等品.現(xiàn)把測量數(shù)據(jù)整理如下,其中配方廢品有件.
配方的頻數(shù)分布表
質(zhì)量指標(biāo)值分組 | |||||
頻數(shù) |
(1)求,的值;
(2)試確定配方和配方哪一種好?(說明:在統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點,分別是橢圓右頂點與上頂點,坐標(biāo)原點到直線的距離為,且點是圓的圓心,動直線與橢圓交于,兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點在線段上,,且當(dāng)取最小值時直線與圓相切,求的值;
(3)若直線與圓分別交于,兩點,點在線段上,且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代的四書是指:《大學(xué)》、《中庸》、《論語》、《孟子》,甲、乙、丙、丁名同學(xué)從中各選一書進行研讀,已知四人選取的書恰好互不相同,且甲沒有選《中庸》,乙和丙都沒有選《論語》,則名同學(xué)所有可能的選擇有______種.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過拋物線y2=4x焦點F的直線與拋物線交于P,Q兩點,M為線段PF的中點,連接OM,則△OMQ的最小面積為( )
A.1B.C.2D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的.從正面看,蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體連接而成,中空柱狀體的底部是由三個全等的菱形面構(gòu)成.如圖,在正六棱柱的三個頂點處分別用平面,平面,平面截掉三個相等的三棱錐,,,平面,平面,平面交于點,就形成了蜂巢的結(jié)構(gòu),如下圖(4)所示,
瑞士數(shù)學(xué)家克尼格利用微積分的方法證明了蜂巢的這種結(jié)構(gòu)是在相同容積下所用材料最省的,英國數(shù)學(xué)家麥克勞林通過計算得到菱形的一個內(nèi)角為,即.以下三個結(jié)論①;② ;③四點共面,正確命題的個數(shù)為______個;若,,,則此蜂巢的表面積為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若,是方程的兩個不同的實數(shù)根,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《周髀算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作,其記載的“日月歷法”曰:“陰陽之?dāng)?shù),日月之法,十九歲為一章,四章為一部,部七十六歲,二十部為一遂,遂千百五二十歲,….生數(shù)皆終,萬物復(fù)蘇,天以更元作紀(jì)歷”,某老年公寓住有20位老人,他們的年齡(都為正整數(shù))之和恰好為一遂,其中年長者已是奔百之齡(年齡介于90至100),其余19人的年齡依次相差一歲,則年長者的年齡為( )
A.94B.95C.96D.98
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是的導(dǎo)函數(shù),討論的單調(diào)性;
(2)若(是自然對數(shù)的底數(shù)),求證:.
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