Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AC是圓O的一條直徑，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中點，∠DAC=∠AOB
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）若二面角P-CD-A的正切值為2，求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明平面OBE∥平面PAD，即可證明BE∥平面PAD；
（2）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)二面角P-CD-A的正切值為2，得到AD=1，然后求出平面的法向量，利用直線和平面所成角的定義即可求直線PB與平面PCD所成角的正弦值

解答 （1）證明：∵，∠DAC=∠AOB
∴AD∥OB，
∵E是PC的中點，O是AC的中點，
∴OE是△PAC的中位線，
∴OE∥PA，
∵PA∩AD=A，
平面OBE∥平面PAD，
∵BE?平面PAD，BE?平面PAD，
∴BE∥平面PAD；

（2）∵AC是圓O的一條直徑，∴AC⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
則CD⊥平面PAD，
則CD⊥AD，
則∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，
若二面角P-CD-A的正切值為2，
則tan∠PDA=$\frac{PA}{AD}$=2，
即AD=1，
建立以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，垂直于平面ABCD的直線分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則B（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），P（1，0，2），$\overrightarrow{PB}$=（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）
D（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
則$\overrightarrow{DC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DP}$=（1，0，2），
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y=0}\\{x+2z=0}\end{array}\right.$，令z=1，則x=-2，y=0，
即$\overrightarrow{m}$=（-2，0，1），
則直線PB與平面PCD所成角的正弦值sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{PB}$＞=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{PB}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{PB}|}$|=$\frac{1+2}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$

點評 本題主要考查面面平行的性質(zhì)定理以及線面平行的判定以及線面角，二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進行求解，綜合性較強，運算量較大．