Question

6．有8個面圍成的幾何體，每一個面都是正三角形，并且有四個頂點A，B，C，D在同一個平面內，ABCD是邊長為30cm的正方形．
（1）想象幾何體的結構，并畫出它的三視圖和直觀圖；
（2）求出此積幾何體的表面積和體積．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出幾何體的直觀圖，進一步得到三視圖；
（2）求出一個側面正三角形的面積，乘以8求得幾何體的側面積，然后求出上部分正三棱錐的高，求得四棱錐的體積，乘以2得答案．

解答 解：（1）該幾何體的三視圖與直觀圖如圖所示，
（2）這個是一個正八面體，假設另兩個頂點為E，F(xiàn)，
ABCD是正方形，邊長=30cm，
每個三角形面積是$\frac{1}{2}×30×15\sqrt{3}=225\sqrt{3}$，則表面積S=8×225$\sqrt{3}=2000\sqrt{3}$（cm²）；
體積可以分成兩部分，兩部分是對稱的四棱錐，連接AC，BD交于O，連接EO，
EO就是所要求的高，EO=15$\sqrt{2}$（cm），
半部分四棱錐體積是$\frac{1}{3}×30×30×15\sqrt{2}=4500\sqrt{2}$（cm³），總體積=9000$\sqrt{2}$（cm³）．

點評 本題考查柱、錐、臺體的體積，考查空間幾何體的三視圖和直觀圖，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．