三棱錐P?ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC。

(1)證明:平面PAB⊥平面PBC;
(2)若PA=,PC與側(cè)面APB所成角的余弦值為,PB與底面ABC成60°角,求二面角B―PC―A的大小。

(1)證明詳見解析;(2)60°

解析試題分析:(Ⅰ)先利用線面垂直的判定定理證明BC⊥平面PAB,再利用面面垂直的判定定理證明平面PAB⊥平面PBC;(2)過A作則ÐEFA為所求.然后求出AB=,PB=2,PC=3及AE,AF,在RtAEF中求解即可.
試題解析: (1)證明:∵PA^面ABC,\PA^BC,   ∵AB^BC,且PA∩AB=A,\BC^面PAB
而BCÌ面PBC中,\面PAB^面PBC. ……5分
(2)過A作

則ÐEFA為B?PC?A的二面角的平面角     8分
由PA=,在RtDPBC中,cosÐCPB=.
RtDPAB中,ÐPBA=60°. \AB=,PB=2,PC=3  \AE=  =
同理:AF=         10分
∴sin==,        11分
=60°.          12分
另解:向量法:由題可知:AB=,BC=1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系        7分
B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,,0),P(0,,),假設(shè)平面BPC的法向量為=(x1,y1,z1),

取z1=,可得平面BPC法向量為=(0,?3,)      9分
同理PCA的法向量為=(2,?,0)              11分
∴cos<,>==,所求的角為60°         12分

考點(diǎn):1. 平面與平面垂直的判定;2.直線與平面所成的角和二面角.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2.點(diǎn)E是線段AB上的動點(diǎn),點(diǎn)M為D1C的中點(diǎn).

(1)當(dāng)E點(diǎn)是AB中點(diǎn)時(shí),求證:直線ME‖平面ADD1 A1;
(2)若二面角AD1EC的余弦值為.求線段AE的長.

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如圖在正三棱錐P-ABC中,側(cè)棱長為3,底面邊長為2,E為BC的中點(diǎn),

(1)求證:BC⊥PA
(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離

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如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,垂直于底面,分別為的中點(diǎn).

(1)求證:;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.

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如圖,在四棱錐中,平面ABCD,底面ABCD是菱形,,.

(1)求證:平面PAC;
(2)若,求所成角的余弦值;
(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí),求PA的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

將邊長為的正方形和等腰直角三角形按圖拼為新的幾何圖形,中,,連結(jié),若,中點(diǎn)

(Ⅰ)求所成角的大小;
(Ⅱ)若中點(diǎn),證明:平面;
(Ⅲ)證明:平面平面

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如圖,在三棱錐中,平面,,為側(cè)棱上一點(diǎn),它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.

(1)證明:平面
(2)在的平分線上確定一點(diǎn),使得平面,并求此時(shí)的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在長方體,中,,點(diǎn)在棱AB上移動.

(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離;
(Ⅲ)等于何值時(shí),二面角的大小為

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(如圖1)在平面四邊形中,中點(diǎn),,,且,現(xiàn)沿折起使,得到立體圖形(如圖2),又B為平面ADC內(nèi)一點(diǎn),并且ABCD為正方形,設(shè)F,G,H分別為PB,EB,PC的中點(diǎn).

(1)求三棱錐的體積;
(2)在線段PC上是否存在一點(diǎn)M,使直線與直線所成角為?若存在,求出線段的長;若不存在,請說明理由.

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