Question

11．已知函數(shù)f（x）=|ax+1|+|2x-1|（a∈R）．
（1）當a=1時，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≤2x在x∈[$\frac{1}{2}$，1]時恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論即可求出不等式的解集；
（2）由絕對值不等式的性質(zhì)，不等式可化為|ax+1|≤1，即-$\frac{2}{x}$≤a≤0，根據(jù)x的范圍，求出-$\frac{2}{x}$的范圍，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當a=1時，不等式f（x）≥2可化為|x+1|+|2x-1|≥2
①當x≥$\frac{1}{2}$時，不等式為3x≥2，解得x≥$\frac{2}{3}$，故x≥$\frac{2}{3}$；
②當-1≤x＜$\frac{1}{2}$時，不等式為2-x≤2，解得x≤0，故-1≤x≤0；
③當x＜-1時，不等式為-3x≥2，解得x≤-$\frac{2}{3}$，故x＜-1；
綜上原不等式的解集為（-∞，0]∪[$\frac{2}{3}$，+∞）；
（2）f（x）≤2x在x∈[$\frac{1}{2}$，1]時恒成立時恒成立，
當x∈[$\frac{1}{2}$，1]時，不等式可化為|ax+1|≤1，
解得-2≤ax≤0，
所以-$\frac{2}{x}$≤a≤0，
因為x∈[$\frac{1}{2}$，1]，所以-$\frac{2}{x}$∈[-4，-2]，
所以a的取值范圍是[-2，0}．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立問題，運用分類討論的思想方法和絕對值不等式的性質(zhì)是解題的關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．