Question

20．在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=6，其前n項(xiàng)和為S_n．等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，且b₂+S₄=33，b₃=S₂
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且c_n=4b_n-a₅，求使不等式T_n＞S₆成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q＞0，由于a₂=6，b₁=1，且b₂+S₄=33，b₃=S₂，可得a₁+d=6，q+4a₁+$\frac{4×3}{2}d$=33，q²=2a₁+d．聯(lián)立解得即可得出．
（2）c_n=4b_n-a₅=4×3^n-1-15．可得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=2×3ⁿ-2-15n．S₆=63．不等式T_n＞S₆，化為2×3ⁿ-2-15n＞63，即f（n）=2×3ⁿ-15n＞63．利用其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q＞0，
∵a₂=6，b₁=1，且b₂+S₄=33，b₃=S₂，
∴a₁+d=6，q+4a₁+$\frac{4×3}{2}d$=33，q²=2a₁+d．
聯(lián)立解得：q=3，a₁=3，d=3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1．
（2）c_n=4b_n-a₅=4×3^n-1-15．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$4×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-15n=2×3ⁿ-2-15n．
S₆=$6×3+\frac{6×5}{2}×3$=63．
不等式T_n＞S₆，化為2×3ⁿ-2-15n＞63，即f（n）=2×3ⁿ-15n＞63．
∵f（n+1）-f（n）=2×3ⁿ⁺¹-15（n+1）-2×3ⁿ+15n=4×3ⁿ-15，
當(dāng)n≥2時(shí)，f（n+1）＞f（n），即數(shù)列f（n）單調(diào)遞增，
又f（1）=-9＜0，f（2）=-12，f（3）=9，f（4）=102＞63，
因此使得f（n）=2×3ⁿ-15n＞63的n的最小值為4．
使不等式T_n＞S₆成立的最小正整數(shù)n的值是4．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．