Question

19．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減的是（　�。�

• A． y=sinx
• B． y=-|x+1|
• C． $y=ln\frac{2-x}{x+2}$
• D． $y=\frac{1}{2}（{2^x}+{2^{-x}}）$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)和定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：A．y=sinx是奇函數(shù)，在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，不滿足條件．
B．y=-|x+1|關(guān)于x=-1對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱性，不是奇函數(shù)，不滿足條件．
C．由$\frac{2-x}{x+2}$＞0得-2＜x＜2，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?2，2），
∵$y=ln\frac{2-x}{x+2}$=ln（2-x）-ln（x+2），
∴函數(shù)在（-2，2）上為減函數(shù)，
則f（-x）=ln（2+x）-ln（2-x）=-[ln（2-x）-ln（x+2）]，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則C滿足條件．
D．f（-x）=$\frac{1}{2}$（2^-x+2^x）=f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，不滿足條件．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．