Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）（x∈R）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-

3

f（x+

π

4

），求函數(shù)g（x）的最小值及相應(yīng)的x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）有圖象中函數(shù)的最大值可求得A，利用函數(shù)的最大值時(shí)x的值以及與x軸的交點(diǎn)推斷函數(shù)的周期求得ω把點(diǎn)（

π

12

，1）代入即可求得φ，則三角函數(shù)的解析式可得．
（2）利用（1）中函數(shù)的解析式，利用兩角和公式化簡整理后，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值及x的值的集合．

解答：解：（1）由圖象可知：A=1，
函數(shù)f（x）的周期T滿足：

T

4

=

π

3

-

π

12

=

π

4

，T=π，
∴T=

2π

ω

=π．∴ω=2．
∴f（x）=sin（2x+φ）．
又f（x）圖象過點(diǎn)（

π

12

，1），
∴f（

π

12

）=1，

π

6

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z）．
又|φ|＜

π

2

，故φ=

π

3

．
∴f（x）=sin(2x+

π

3

)．
（2）g（x）=f（x）-

3

f(x+

π

4

)=sin(2x+

π

3

)-

3

sin(2x+

π

2

+

π

3

)=sin(2x+

π

3

)-

3

sin(2x+

5π

6

)=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

sin2x-

3

2

cos2x=2sin2x，
由2x=2kπ-

π

2

（k∈Z），
得x=kπ-

π

4

（k∈Z），
∴g（x）的最小值為-2，相應(yīng)的x的取值集合為{x|x=kπ-

π

4

，k∈z}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了求三角函數(shù)解析式，三角函數(shù)的值域等問題．考查了基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．