Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax³-bx+4，當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）取得極值$-\frac{4}{3}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=k有3個不等的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)為0，求出極值點，結(jié)合極值，列出方程求解函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性以及極值，通過f（x）=k有3個不等的實數(shù)解，求出k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為f'（x）=3ax²-b，
所以$\left\{\begin{array}{l}f'（2）=12a-b=0\\ f（2）=8a-2b+4=-\frac{4}{3}\;\end{array}\right.$，解得$a=\frac{1}{3}\;，\;b=4$．…（4分）
所以函數(shù)的解析式為$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$，
所以f'（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
所以函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上遞增，在（-2，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增，…（8分）
所以f（x）在x=-2時取得極大值$\frac{28}{3}$，在x=2時取得極小值$-\frac{4}{3}$，…（10分）
因為方程f（x）=k有3個不等的實數(shù)解，所以$-\frac{4}{3}＜k＜\frac{28}{3}$．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．