Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（3）設(shè)h(x)=

f(x)

x

，若函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a=1，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，進(jìn)而每一段轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，用二次函數(shù)法求得每段的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）受（1）的啟發(fā)，用二次函數(shù)法求函數(shù)的最小值，要注意定義域，同時(shí)由于a不具體，要根據(jù)對(duì)稱軸分類討論．
（3）由“函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)”要轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題．可用單調(diào)性定義，也可用導(dǎo)數(shù)法．

解答：解：（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1=

x2-x+1，x≥0 x2+x+1，x＜0

=

(x- 1 2 )2+ 3 4 ，x≥0 (x+ 1 2 )2+ 3 4 ，x＜0

（2分）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

1

2

，+∞），（-

1

2

，0）；
 f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-

1

2

），（0，

1

2

）（4分）
（2）由于a＞0，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1
①若0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

，則f（x）在[1，2]為增函數(shù)g（a）=f（1）=3a-2
②若1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

時(shí)，g(a)=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1
③若

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

時(shí)，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)：
g（a）=f（2）=6a-3．
綜上可得g(a)=

6a-3  0＜a＜ 1 4 2a- 1 4a -1    1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2  a＞ 1 2

（10分）

（3）h(x)=ax+

2a-1

x

-1在區(qū)間[1，2]上任取x₁、x₂，
則h(x2)-h(x1)=(ax2+

2a-1

x2

-1)-(ax1+

2a-1

x1

-1)
=(x2-x1)(a-

2a-1

x1x2

)=

x2-x1

x1x2

[ax1x2-(2a-1)]（*）（12分）
∵h(yuǎn)（x）在[1，2]上是增函數(shù)
∴h（x₂）-h（x₁）＞0
∴（*）可轉(zhuǎn)化為ax₁x₂-（2a-1）＞0對(duì)任意x₁、x₂∈[1，2]
且x₁＜x₂都成立，即ax₁x₂＞2a-1
①當(dāng)a=0時(shí)，上式顯然成立
②a＞0，x1x2＞

2a-1

a

，由1＜x₁x₂＜4得

2a-1

a

≤1，解得0＜a≤1
③a＜0，x1x2＜

2a-1

a

2a-1

a

≥4，得-

1

2

≤a＜0
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，1]（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)，考查求其單調(diào)區(qū)間，方法是一段一段地求出即可，考查求其最值，方法是每一段求出其最值，各段中最大的為最大值，最小的為最小值，考查其單調(diào)性的應(yīng)用，這類問(wèn)題要轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，實(shí)質(zhì)還是研究最值，這里就會(huì)涉及到構(gòu)造新函數(shù)的問(wèn)題．