Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²-x+1，
①若f（x）在區(qū)間（a，a+1）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．
②若過點P（0，t）可作函數(shù)f（x）圖象的三條切線，求實數(shù)t的取值范圍．
③設點A（0，1），m＞0，記點M（m，f（m）），求證：在區(qū)間（0，m）內(nèi)至少有一實數(shù)b，使得函數(shù)f（x）圖象在x=b處的切線平行于直線AM．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：①求出導數(shù)，求出單調(diào)減區(qū)間，由條件可得，區(qū)間（a，a+1）包含于減區(qū)間，得到不等式，解得即可；
②設出切點，求出切線的斜率，得到切線方程，代入P的坐標，得到方程，并分解，即可得到一個二次方程，運用判別式大于0，解得即可；
③求出直線AM斜率，直求出線在x=b處的切線斜率為f′（b），由切線平行于AM，可令f′（b）=m²-m-1，
考察3b²-2b-m²+m=0在區(qū)間（0，m）內(nèi)的根的情況，令g（b）=3b²-2b-m²+m，求得g（0），g（m），g（

1

3

），對m討論：當0＜m＜

1

2

時，當

1

2

≤m＜1時，當m≥1時，由零點存在定理，即可得證．

解答： 解：①函數(shù)f（x）=x³-x²-x+1的導數(shù)為f′（x）=3x²-2x-1=3（x-1）（x+

1

3

），
則f（x）在(-∞，-

1

3

)上增，(-

1

3

，1)上減，（1，+∞）上增，
由于f（x）在區(qū)間（a，a+1）上單調(diào)遞減，
則

a+1≤1 a≥- 1 3

∴-

1

3

≤a≤0；
②設切點為Q(x0，

x

3 0

-

x

2 0

-x0+1)，斜率k=3

x

2 0

-2x0-1，
則切線方程為：y-(

x

3 0

-

x

2 0

-x0+1)=(3

x

2 0

-2x0-1)(x-x0)，
代入P點坐標有：0-(

x

3 0

-

x

2 0

-x0+1)=(3

x

2 0

-2x0-1)(t-x0)，
∴關于x₀的方程-(x0-1)(

x

2 0

-1)=(3x0+1)(x0-1)(t-x0)有三個不等根，
∴方程-(

x

2 0

-1)=(3x0+1)(t-x0)有兩個不為1的不等根．
上方程化為：2

x

2 0

-(3t-1)x0+1-t=0．
由△=（3t-1）²-4×2×（1-t）＞0有，t＜-1或t＞

7

9

將x₀=1代入求得t=1，
實數(shù)t的取值范圍是(-∞，-1)∪(

7

9

，1)∪(1，∞)；
③直線AM的斜率為kAM=m2-m-1，
在x=b處的切線斜率為f′（b）=3b²-2b-1，即3b²-2b-m²-m=0，
考查關于b的方程3b²-2b-m²-m=0在區(qū)間（0，m）內(nèi)的根的情況．
令g（x）=3b²-2b-m²-m，對稱軸b=

1

3

g(

1

3

)=-m2+m-

1

3

=-(m-

1

2

)2-

1

12

＜0
∴（1）當0＜m＜

1

2

時，g（0）＞0，g（m）＜0，∴方程g（b）=0區(qū)間（0，m）內(nèi)有一實根；
（2）當

1

2

≤m＜1時，g(0)＞0，g(

1

3

)＜0，∴方程g（b）=0區(qū)間(0，

1

3

)內(nèi)有一實根；
（3）當m≥1時，g(m)＞0，g(

1

3

)＜0，∴方程g（b）=0區(qū)間(

1

3

，m)內(nèi)有一實根．
綜上，方程3b²-2b-m²-m=0在區(qū)間（0，m）內(nèi)至少有一實根，
故在區(qū)間（0，m）內(nèi)至少有一實數(shù)b，
使得函數(shù)f（x）圖象在x=b處的切線平行于直線AM．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處的切線的斜率，求單調(diào)區(qū)間，考查二次函數(shù)的零點問題，同時考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．