Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+x²．
（1）若方程f（x）=t有三個不等的實根，求實數t的取值范圍；
（2）設函數g（x）=f（x）+mx，若g（x）的極值存在，求實數m的取值范圍；
（3）設{a_n}是正數組成的數列，前n項和為S_n，其中a₁=f′（1），若點（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N^*）在函數y=f′（x）的圖象上，求證：點（n，S_n）也在y=f′（x）的圖象上．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求導，再求出極值點，繼而得到t的取值范圍，
（2）先求導，g（x）的極值存在，則△=4-4m＞0，得m＜1，
（3）由題意求得{a_n}是以3為首項，2為公差的等差數列，問題得以解決．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+x²．
∴f′（x）=x²+2x，
令f′（x）=0，得x=0，或x=-2，
∵f（-2）=

4

3

，f（0）=0，
∴當方程f（x）=t有三個不等的實根時，則求實數t的取值范圍（0，

4

3

），
（2）∵g（x）=f（x）+mx，
∴g（x）=

1

3

x³+x²+mx，
∴g′（x）=x²+2x+m，
∵g（x）的極值存在，
∴△=4-4m＞0，得m＜1，
∴實數m的取值范圍是（-∞，1），
（3）∵f′（x）=x²+2x，a_n+1²-2a_n+1=a_n²-2a_n，
∴（a_n+1-a_n-2）（a_n+1+a_n）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又a₁=f′（1）=3，
∴{a_n}是以3為首項，2為公差的等差數列，
∴a_n=2n+1，
從而S_n=n²+2n，
∴點（n，S_n）也滿足f′（x）=x²+2x，
所以也在y=f′（x）的圖象上．

點評：本題主要考查了導數和極值的關系，以及等差數列的問題，屬于中檔題．