Question

已知函數(shù)f（x）=1+x-

x 2

2

+

x 3

3

-

x 4

4

+…+

x 2001

2001

，則函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、0
• B、l
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰⁰⁰，可確定導(dǎo)數(shù)大于0，從而確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：∵f（x）=1+x-

x 2

2

+

x 3

3

-

x 4

4

+…+

x 2001

2001

，
∴f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰⁰⁰，
=（1-x）（1+x²+…+x¹⁹⁹⁸）+x²⁰⁰⁰，
若x=0，則f′（0）=1，
若x=1，則f′（1）=1；
若x=-1，則f′（-1）=2001；
若x≠0且x≠±1，則
（1-x）（1+x²+…+x¹⁹⁹⁸）+x²⁰⁰⁰，
=（1-x）

1-x2000

1-x2

+x²⁰⁰⁰，
=

1-x2000+x2000+x2001

1+x

=

1+x2001

1+x

＞0，
故f（x）=1+x-

x 2

2

+

x 3

3

-

x 4

4

+…+

x 2001

2001

在R上是增函數(shù)，
又∵當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）＜0，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）＞0；
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．