Question

10．已知雙曲線實軸長為6，一條漸近線方程為4x-3y=0．過雙曲線的右焦點F作傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線交雙曲線于A、B兩點
（1）求雙曲線的方程；
（2）求線段AB的中點C到焦點F的距離．

Answer 1

分析 （1）運用雙曲線的漸近線方程可得$\frac{a}=\frac{4}{3}$，結(jié)合條件2a=6，可得a，b，進而得到雙曲線的方程；
（2）求得直線AB的方程，代入雙曲線的方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式可得C的坐標(biāo)，再由兩點的距離公式計算即可得到所求值．

解答 解：（1）由題得2a=6，$\frac{a}=\frac{4}{3}$，
得a=3，b=4，
可得雙曲線方程為$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$；
（2）由題意可得F（5，0），直線AB的方程為y=x-5，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=x-5\\ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\end{array}\right.$，
消去y，可得7x²+90x-369=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得${x_1}+{x_2}=-\frac{90}{7}$，
可得中點C的橫坐標(biāo)為${x_0}=-\frac{45}{7}$，
可得C（-$\frac{45}{7}$，-$\frac{80}{7}$），
F點橫坐標(biāo)為x=5，可得F（5，0），
即有|CF|=$\sqrt{（5+\frac{45}{7}）^{2}+（-\frac{80}{7}）^{2}}$=$\frac{80\sqrt{2}}{7}$．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用漸近線方程，考查兩點的距離公式的運用，注意聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，考查運算能力，屬于中檔題．