Question

20．已知x．y，z均為實數(shù)，且a=x²-y一z+$\frac{π}{2}$，b=y²-x-z+$\frac{π}{3}$，c=z²-x-y+$\frac{π}{4}$，求證：a，b，c中最多有兩個小于或等于0．

Answer 1

分析 假設(shè)a，b，c均小于或等于0，由條件和不等式的性質(zhì)可以推出矛盾，可得假設(shè)不正確，從而命題得證．

解答 證明：假設(shè)a，b，c均小于或等于0，即x²-y一z+$\frac{π}{2}$≤0，y²-x-z+$\frac{π}{3}$≤0，z²-x-y+$\frac{π}{4}$≤0，…（4分）
由不等式的可加性得：x²-y-z+$\frac{π}{2}$+y²-x-z+$\frac{π}{3}$+z²-x-y+$\frac{π}{4}$≤0，…（8分）
即（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+$\frac{13}{12}π$-3≤0，…（10分）
這顯然不成立，故假設(shè)不正確，所以，a、b、c中最多有兩個小于或等于0． …（12分）

點評 本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點，屬于中檔題．