Question

8．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n=a${\;}_{n}^{2}$+a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過2S_n=a${\;}_{n}^{2}$+a_n與當(dāng)n≥2時2S_n-1=${{a}_{n-1}}^{2}$+a_n-1作差，進(jìn)而整理可知a_n-a_n-1=1，求出首項(xiàng)、利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵2S_n=a${\;}_{n}^{2}$+a_n，
∴當(dāng)n≥2時，2S_n-1=${{a}_{n-1}}^{2}$+a_n-1，
兩式相減得：2a_n=${{a}_{n}}^{2}$+a_n-${{a}_{n-1}}^{2}$-a_n-1，
整理得：（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=a_n+a_n-1，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=1，
又∵2S₁=${{a}_{1}}^{2}$+a₁，即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n∈N^*），
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．