Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求{a_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1，a₁=4，當(dāng)n≥2，2a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹，a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=2ⁿ，兩式相減得到${a}_{n}=n•{2}^{n}$（n≥2），寫出通項公式a_n，
（2）是由等比數(shù)列和等差組成的數(shù)列，采用乘以公比錯位相減法，求得前n項和．

解答 當(dāng)n=1時，由題意可知a₁=4，
當(dāng)n≥2，2a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹，
a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=2ⁿ，
兩式相減：$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹-2ⁿ，
∴${a}_{n}=n•{2}^{n}$（n≥2），
故{a_n}的通項公式為{a_n}=$\left\{\begin{array}{l}{4}&{n=1}\\{n•{2}^{n}}&{n≥2，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，
（2）{a_n}的前n項和為S_n，
${S}_{n}=1×{2}^{2}+2×{2}^{2}+3×{2}^{3}+…+n×{2}^{n}$，
$2{S}_{n}=1×{2}^{3}+2×{2}^{3}+3×{2}^{4}+…+n×{2}^{n+1}$，
兩式相減得：S_n═n×2ⁿ⁺¹-（2²+2³+…+2ⁿ），
=n×2ⁿ⁺¹-4（2^n-1-1），
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+4，
{a_n}的前n項和S_n═（n-1）•2ⁿ⁺¹+4．

點評 本題考查求數(shù)列的通項公式，采用乘以公比錯位相減法求前n項公式，屬于中檔題．