Question

（本小題滿分14分）定義在D上的函數(shù)，如果滿足；對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界。已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；若函數(shù)在上是以3為上界函數(shù)值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若，求函數(shù)在上的上界T的取值范圍。

Answer 1

（1）函數(shù)在上不是有界函數(shù)     （2）    （3）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是      

解析:

（1）當(dāng)時(shí)，.

∵在上遞增，所以，即在上的值域?yàn)?img width=47 height=24 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/6/191406.gif">.    

故不存在常數(shù)，使成立. 所以函數(shù)在上不是有界函數(shù). 

（2）∵函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，

在上恒成立. ,在上恒成立.，設(shè)，，.由,得.設(shè)，則，，所以在 上遞增，在上遞減.

在上的最大值為，在上的最小值為.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.      

（3））方法一:，.∵ m>0 ，,.

∴，

∵∴.          

① 當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)；

② 當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是      

方法二: .令，因?yàn)?img width=63 height=23 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/65/191465.gif">，所以.

.因?yàn)?img width=33 height=21 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/68/191468.gif">在上是減函數(shù)，所以.又因?yàn)楹瘮?shù)在上的上界是，所以.當(dāng)時(shí)，，;

當(dāng)時(shí)，，.