設(shè)動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(－l，0)和F2(1，0)的距離分別為d1和d2，∠F1PF2＝2θ，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得d1d2 sin2θ＝λ．

（1）證明：動點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

（2）如圖，過點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點(diǎn)．問：是否存在λ，使△F1AB是以點(diǎn)B為直角定點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

解：（1）在中，

（小于的常數(shù)）

故動點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線．

方程為．

（2）方法一：在中，設(shè)，，，．

假設(shè)為等腰直角三角形，則

由②與③得，

則

由⑤得，

，

故存在滿足題設(shè)條件．

方法二：（1）設(shè)為等腰直角三角形，依題設(shè)可得

所以，

則．①

由，可設(shè)，

則，．

則．②

由①②得．③

根據(jù)雙曲線定義可得，．

平方得：．④

由③④消去可解得，

故存在滿足題設(shè)條件．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出以下5個命題：
①曲線x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲線（x+1）2-（y-3）2=1；
②設(shè)A、B為兩個定點(diǎn)，n為常數(shù)，|
PA
|-|
PB
|=n，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
③若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是該橢圓上的任意一點(diǎn)，延長F1P到點(diǎn)M，使|F2P|=|PM|，則點(diǎn)M的軌跡是圓；
④A、B是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，平面內(nèi)一動點(diǎn)P滿足向量
AB
與
AP
夾角為銳角θ，且滿足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，則點(diǎn)P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點(diǎn)）；
⑤已知正四面體A-BCD，動點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且點(diǎn)P到平面BCD的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試、文科數(shù)學(xué)(江西卷) 題型：038

設(shè)動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(－l，0)和F2(1，0)的距離分別為d1和d2，∠F1PF2＝2θ，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得d1d2sin2θ＝λ．

(1)證明：動點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

(2)如圖，過點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點(diǎn)．問：是否存在λ，使△F1AB是以點(diǎn)B為直角定點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江西省高考真題 題型：解答題

設(shè)動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-1，0 )和F2(1，0 ) 的距離分別為d1和d2，∠F1PF2=2θ，且存在常數(shù)λ（0＜λ＜1），使得d1d2sin2θ=λ，
（1）證明：動點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）如圖過點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點(diǎn)，問：是否存在λ，使△F1AB是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

22. 設(shè)動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(－l，0)和F2(1，0)的距離分別為d1和d2，∠F1PF2＝2θ，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得d1d2 sin2θ＝λ.

   （1）證明：動點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

   （2）如圖，過點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點(diǎn).問：是否存在λ，使△F1AB是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

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