Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²-lnx-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間，且指出函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解導(dǎo)函數(shù)的不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到f（x）的最小值，從而判斷出函數(shù)的零點．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²-lnx-1，定義域是（0，+∞），
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）遞增；
∴f（x）_min=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$（ln2-1）＜0，
∴函數(shù)f（x）的零點個數(shù)有2個．

點評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性問題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．