Question

15．設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x²-（3a+1）x+2a²+a＜0，q：實(shí)數(shù)x滿足|x-3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若a＞0，且?p是?q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x²-（3a+1）x+2a²+a＜0得（x-a）（x-（2a+1））＜0，當(dāng)a=1時(shí)，代入可得．由|x-3|＜1，得-1＜x-3＜1，即可得出．利用p∧q為真，則p真且q真，即可得出．
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，可得q是p的充分不必要條件，即可得出．

解答 解：（1）由x²-（3a+1）x+2a²+a＜0得（x-a）（x-（2a+1））＜0，
當(dāng)a=1時(shí)，1＜x＜3，即p為真時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．
由|x-3|＜1，得-1＜x-3＜1，得2＜x＜4．
即q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x＜4，
若p∧q為真，則p真且q真，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，
∴q是p的充分不必要條件，
則0＜a≤2，且2a+1≥4
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\frac{3}{2}$≤a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的性質(zhì)、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．