Question

19．為備戰(zhàn)“全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”，我市某高中擬成立兩個“數(shù)學(xué)競賽班”，經(jīng)過學(xué)校預(yù)選，選出40名學(xué)生，編成A，B兩個班，分別由兩位教師擔(dān)任教練進(jìn)行培訓(xùn)；經(jīng)過兩個月的培訓(xùn)，參加了市里組織的數(shù)學(xué)競賽初賽（只有經(jīng)過初賽，取得相應(yīng)名次，才能取得參加省統(tǒng)一組織的“全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”復(fù)賽資格），這40名學(xué)生的初賽成績的莖葉圖如圖：
市數(shù)學(xué)會規(guī)定：140分以上（含140分）為市級一等獎，135分以上（含135分）為市級二等獎，100分以上（含100分）為市級三等獎．
（1）由莖葉圖判斷A班和B班的平均分$\overline{{x}_{A}}$，$\overline{{x}_{B}}$的大�。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）；
（2）按照規(guī)則：獲得市一等獎、二等獎的同學(xué)才能獲得省里組織的“全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽”復(fù)賽資格，我們稱這些同學(xué)為“種子選手”，請?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表，并判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為稱為‘種子’選手”與班級有關(guān)？

	A班	B班	合計
種子選手
非種子選手
合計

（3）在獲市級一等獎的同學(xué)中選出3人，求至少含有1名A班同學(xué)的概率．
下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)莖葉圖可知A班數(shù)據(jù)的重心偏下，可得：故$\overline{{x}_{A}}$＜$\overline{{x}_{B}}$；
（2）根據(jù)莖葉圖求出列聯(lián)表中各個數(shù)據(jù)，計算出臨界值，可得結(jié)論；
（3）分別計算獲市級一等獎的同學(xué)中選出3人的總?cè)》�，及至少含�?名A班同學(xué)的取法，代入古典概型概率計算公式，可得答案．

解答 解：（1）莖葉圖可知A班數(shù)據(jù)的重心偏下，
故$\overline{{x}_{A}}$＜$\overline{{x}_{B}}$
（2）由莖葉圖可知，“種子選手”共有13名，其中A班3人，B班10人，非種子選手27人，其中A班17人，B班10人，
從而2×2聯(lián)表如下：

	A班	B班	合計
種子選手	3	10	13
非種子選手	17	10	27
合計	20	20	40

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得                           …（6分）
K²=$\frac{n（ad-bc）2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{40×（3×10-17×10）2}{20×20×27×13}$=$\frac{13×142}{13×27}$=$\frac{1960}{351}$≈5.584
因?yàn)?.584＞5.024，所以能夠“在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下”認(rèn)為成為‘種子選手’與班級有關(guān)…（8分）
（3）由莖葉圖知：獲市一等獎的學(xué)生共6人，其中A班兩名同學(xué)，記作A₁，A₂，B班4名同學(xué)，記作B₁，B₂，B₃，B₄，
“從6人中抽取3人”共包含以下基本事件：
（A₁，A₂，B₁），（A₁，A₂，B₂），（A₁，A₂，B₃），（A₁，A₂，B₄），（A₁，B₁，B₂），
（A₁，B₁，B₃），（A₁，B₁，B₄），（A₁，B₂，B₃），（A₁，B₂，B₄），（A₁，B₃，B₄），
（A₂，B₁，B₂），（A₂，B₁，B₃），（A₂，B₁，B₄），（A₂，B₂，B₃），（A₂，B₂，B₄），
（A₂，B₃，B₄），（B₁，B₂，B₃），（B₁，B₂，B₄），（B₁，B₃，B₄），（B₂，B₃，B₄）共20個，
其中事件“至少含有1名A班同學(xué)”包含以下基本事件：
（A₁，A₂，B₁），（A₁，A₂，B₂），（A₁，A₂，B₃），（A₁，A₂，B₄），（A₁，B₁，B₂），
（A₁，B₁，B₃），（A₁，B₁，B₄），（A₁，B₂，B₃），（A₁，B₂，B₄），（A₁，B₃，B₄），
（A₂，B₁，B₂），（A₂，B₁，B₃），（A₂，B₁，B₄），（A₂，B₂，B₃），（A₂，B₂，B₄），（A₂，B₃，B₄）共16個
設(shè)事件A=“至少含有1名A班同學(xué)”．
∴P（A）=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$
即在獲市級一等獎的同學(xué)中選出3人，至少含有1名A班同學(xué)的概率為$\frac{4}{5}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是獨(dú)立性檢驗(yàn)，莖葉圖，古典概型，是統(tǒng)計和概率的綜合應(yīng)用，難度中檔．