Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x

，g（x）=1-

1

x

．
（1）令F（x）=|xg（x）|-xf（x），求函數(shù)F（x）的最小值；
（2）若x＞1且x∈N^*，試證明f（2×1）+f（3×2）+…+f[x（x-1）]＜x+

1

x+1

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值；
（2）由f(2×1)+f(3×2)+…+f[x(x-1)]=

ln(2×1)

2×1

+

ln(3×2)

3×2

+…+

ln[x(x-1)]

x(x-1)

＜(1-

1

2×1

)+(1-

1

3×2

)+…+[1-

1

x(x-1)

]，證出即可．

解答： 解：（1）F（x）=|x-1|-lnx，定義域為（0，+∞）
當x≥1時，F(xiàn)（x）=x-1-lnx，F′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，
∴F（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增函數(shù)．
當0＜x＜1時，F(xiàn)（x）=1-x-lnx，F′(x)=-1-

1

x

＜0，
∴F（x）在區(qū)間（0，1）上是遞減函數(shù)
所以F（x）的增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1），
因此F（x）_min=F（1）=0．
（2）由（1）可知，當x＞1時，有x-1-lnx＞0，即

lnx

x

＜1-

1

x

．
∴f(2×1)+f(3×2)+…+f[x(x-1)]=

ln(2×1)

2×1

+

ln(3×2)

3×2

+…+

ln[x(x-1)]

x(x-1)

＜(1-

1

2×1

)+(1-

1

3×2

)+…+[1-

1

x(x-1)

]
=x-1-[

1

2×1

+

1

3×2

+…+

1

x(x-1)

]
＜x-1-[

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

x(x+1)

]
=x-1-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

x

-

1

x+1

)=x-1-(

1

2

-

1

x+1

)
=x+

1

x+1

-

3

2

＜x+

1

x+1

，
故原不等式成立．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，本題有一定的難度．