Question

4．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=2，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（Ⅰ）若F是CD的中點(diǎn)，證明：AD∥平面EFB；
（Ⅱ）求三棱錐C-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)EF、BF，證明AD∥EF，即可證明AD∥平面EFB．
（2）求出三棱錐B-ACD的高與底面面積，利用V_B-ACD=V_C-ADB，求解即可．

解答 （1）連結(jié)EF，BF
在△ACD中，∵E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)
∵EF為△ACD的中位線
∴AD∥EF，EF⊆平面EFB，AD?平面EFB
∴AD∥平面EFB…（6分）
（2）易得$AC=BC=2\sqrt{2}，AB=4$
所以AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC
∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC
∴BC⊥平面ADC
∴三棱錐B-ACD的高$BC=2\sqrt{2}，{S_{△ACD}}=2$
∵V_B-ACD=V_C-ADB，即V_C-ADB=$\frac{1}{3}BC•{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×2$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$…（12分）．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判斷與幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．