Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的奇偶性；

（2）當(dāng)時(shí)，求在的值域；

（3）若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為非奇非偶函數(shù)；（2）；（3）或.

【解析】

（1）當(dāng)a＝0時(shí)，利用定義判斷f（x）為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，利用特值判斷f（x）為非奇非偶函數(shù)；

（2）將a＝4代入，分類討論f（x）的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案；

（3）去絕對值，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值即可

（1）當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)，理由如下：

當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f（﹣x）＝﹣x |x|＝﹣f（x），此時(shí)，f（x）為奇函數(shù)．

當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）＝﹣a，f（﹣a）＝﹣2a|a|﹣a，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a），

此時(shí)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．

（2）當(dāng)a＝4時(shí)，函數(shù)

當(dāng)1≤x≤4時(shí)，f（x）＝4x﹣x2﹣4∈[﹣4，0]，

當(dāng)5≥x＞4時(shí)，f（x）＝x2-4x-4∈[﹣4，1]，

綜上，當(dāng)a＝4時(shí)，求f（x）的值域?yàn)?/span>[﹣4，1]，

（3）對任意的x∈[3,5],f(x)≥0恒成立轉(zhuǎn)化為|x-a|≥在x∈[3,5]上恒成立.

當(dāng)a≤0時(shí),顯然不等式恒成立.

當(dāng)a>0時(shí),|x-a|≥可化為x-a≥或x-a≤-,

由x-a≥得a≤=x+1+-2,

令g(x)=x+1+-2,則g(x)在x∈[3,5]上單調(diào)遞增,所以g(x)≥4+-2=,故a≤;

由x-a≤-得a≥=x-1++2,

令h(x)=x-1++2,則h(x)在x∈[3,5]上單調(diào)遞增,所以h(x)≤4++2=,故a≥.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為或.