Question

14．小王創(chuàng)建了一個(gè)由他和甲、乙、丙共4人組成的微信群，并向該群發(fā)紅包，每次發(fā)紅包的個(gè)數(shù)為1個(gè)（小王自己不搶?zhuān)�，假設(shè)甲、乙、丙3人每次搶得紅包的概率相同．
（Ⅰ）若小王發(fā)2次紅包，求甲恰有1次搶得紅包的概率；
（Ⅱ）若小王發(fā)3次紅包，其中第1，2次，每次發(fā)5元的紅包，第3次發(fā)10元的紅包，記乙搶得所有紅包的錢(qián)數(shù)之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“甲第i次搶得紅包”為事件A_i（i=1，2），“甲第i次沒(méi)有搶得紅包”為事件$\overline{A_i}$．記“甲恰有1次搶得紅包”為事件A，則$A={A_1}\overline{A_2}+\overline{A_1}{A_2}$，由此利用事件的獨(dú)立性和互斥性，能求出甲恰有1次搶得紅包的概率．
（2）記“乙第i次搶得紅包”為事件B_i（i=1，2，3），“乙第i次沒(méi)有搶得紅包”為事件$\overline{B_i}$．由題意知X的所有可能取值為0，5，10，15，20，由事件的獨(dú)立性和互斥性，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出
X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）記“甲第i次搶得紅包”為事件A_i（i=1，2），“甲第i次沒(méi)有搶得紅包”為事件$\overline{A_i}$．
則$P（{A_i}）=\frac{1}{3}$，$P（\overline{A_i}）=\frac{2}{3}$．（1分）
記“甲恰有1次搶得紅包”為事件A，則$A={A_1}\overline{A_2}+\overline{A_1}{A_2}$，（2分）
由事件的獨(dú)立性和互斥性，得$P（A）=P（{A_1}\overline{A_2}+\overline{A_1}{A_2}）=P（{A_1}\overline{A_2}）+P（\overline{A_1}{A_2}）=P（{A_1}）P（\overline{A_2}）+P（\overline{A_1}）P（{A_2}）$（3分）
=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$．（4分）
（2）記“乙第i次搶得紅包”為事件B_i（i=1，2，3），“乙第i次沒(méi)有搶得紅包”為事件$\overline{B_i}$．
則$P（{B_i}）=\frac{1}{3}$，$P（\overline{B_i}）=\frac{2}{3}$．
由題意知X的所有可能取值為0，5，10，15，20，（5分）
由事件的獨(dú)立性和互斥性，得：
$P（X=0）=P（\overline{B_1}\overline{B_2}\overline{B_3}）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$．（6分）
$P（X=5）=P（{B_1}\overline{B_2}\overline{B_3}+\overline{B_1}{B_2}\overline{B_3}）=2×\frac{1}{3}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{8}{27}$．（7分）
$P（X=10）=P（{B_1}{B_2}\overline{B_3}+\overline{B_1}\overline{B_2}{B_3}）={（\frac{1}{3}）^2}×\frac{2}{3}+{（\frac{2}{3}）^2}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$．（8分）
$P（X=15）=P（{B_1}\overline{B_2}{B_3}+\overline{B_1}{B_2}{B_3}）=2×{（\frac{1}{3}）^2}×\frac{2}{3}=\frac{4}{27}$．（9分）
$P（X=20）=P（{B_1}{B_2}{B_3}）={（\frac{1}{3}）^3}=\frac{1}{27}$．（10分）
所以X的分布列為：

X	0	5	10	15	20
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{1}{27}$

所以乙搶得所有紅包的錢(qián)數(shù)之和X的數(shù)學(xué)期望：
$E（X）=0×\frac{8}{27}+5×\frac{8}{27}+10×\frac{2}{9}+15×\frac{4}{27}+20×\frac{1}{27}=\frac{20}{3}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意事件的獨(dú)立性和互斥性的合理運(yùn)用．