Question

4．已知x，y滿足x²+y²=1，求證：|ax+by|≤$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$．

Answer 1

分析 可將不等式兩邊平方，再作差，運(yùn)用完全平方非負(fù)，即可得證．

解答 證明：x²+y²=1，可得x²-1=-y²，y²-1=-x²，
要證不等式|ax+by|≤$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$成立，即證（ax+by）²≤a²+b²成立，
由（ax+by）²-a²-b²=a²（x²-1）+b²（y²-1）+2abxy
=-a²y²-b²x²+2abxy=-（ay+bx）²≤0，
可得（ax+by）²≤a²+b²，
則原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用作差法，也可運(yùn)用三角換元法，運(yùn)用輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．