Question

某矩形花園ABCD，AB=2，AD=

3

，H是AB的中點，在該花園中有一花圃其形狀是以H為直角頂點的內接Rt△HEF，其中E、F分別落在線段BC和線段AD上如圖．分別記∠BHE為θ，Rt△EHF的周長為l，Rt△EHF的面積為S
（1）試求S的取值范圍；
（2）θ為何值時l的值為最��；并求l的最小值．

Answer 1

分析：（1）要求S的取值范圍，我們要先給了S的表達式，由∠BHE為θ，我們易得HE=

1

cosθ

，HF=

1

sinθ

，且

π

6

≤θ≤

π

3

，根據(jù)三角形面積公式代入給出S的表達式，再結合三角函數(shù)的性質，即可求解．
（2）結合（1）中得HE=

1

cosθ

，HF=

1

sinθ

，

π

6

≤θ≤

π

3

，根據(jù)勾股定理，我們可給出周長l的表達式，化簡后根據(jù)三角函數(shù)的性質即可得到答案．

解答：解：（1）：由圖可知在Rt△HBE中有HE=

1

cosθ

在Rt△HAF中有HF=

1

sinθ

（2分）
由于E在BC上，F(xiàn)在AD上．故

π

6

≤θ≤

π

3

（4分）
∴S=

1

2

HE•HF
=

1

2

•

1

cosθ

•

1

sinθ

=

1

sin2θ

（6分）
由

π

6

≤θ≤

π

3

得

π

3

≤2θ≤

2π

3

∴sin2θ∈[

3

2

，1]
∴S∈[1，

2 3

3

]（9分）
（2）由HE=

1

cosθ

，HF=

1

sinθ

在Rt△HEF中有FE=

HE2+HF2

=

1

sinθ•cosθ

∴l=

1

sinθ

+

1

cosθ

+

1

sinθ•cosθ

=

sinθ+cosθ+1

sinθ•cosθ

令sinθ+cosθ=t，則sinθ•cosθ=

1

2

(t2-1)
其中t=

2

sin(θ+

π

4

)
∵

π

6

≤θ≤

π

3

∴

5π

12

≤θ+

π

4

≤

7π

12

∴

6 + 2

4

≤sin(θ+

π

4

)≤1
∴

3 +1

2

≤t≤

2

l=

t+1

1 2 (t2-1)

=

2

t-1

，
且

3 +1

2

≤t≤

2

當t=

2

即θ=

π

4

時Rt△HEF的周長l最小，最小值為2(

2

+1)（16分）

點評：本題考查的知識點是在實際問題中建立三角函數(shù)模型，在解答過程中，根據(jù)E在BC上，F(xiàn)在AD上，既定

π

6

≤θ≤

π

3

，容易被忽略，要引起大家足夠的重視！