Question

如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD。

(1)證明：PA⊥BD；(2)設(shè)PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．  

 

Answer 1

【答案】

（1）只需證明BD²＋AD²＝AB²；（2）。

【解析】

試題分析：(1)因?yàn)椤?i>DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得.

從而BD²＋AD²＝AB²，故BD⊥AD．

又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．

所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．   6分

(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)．

＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)．

設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則

即

因此可取n＝(，1，)．

設(shè)平面PBC的法向量為m，則

可取m＝(0，－1，－)，.

故二面角A­PB­C的余弦值為.           6分

考點(diǎn)：線面垂直的判定定理；線面垂直的性質(zhì)定理；二面角。

點(diǎn)評(píng)：二面角的求法是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。我們解決此類(lèi)問(wèn)題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說(shuō)三求。②向量法，運(yùn)用向量法求二面角應(yīng)注意的是計(jì)算。很多同學(xué)都會(huì)應(yīng)用向量法求二面角，但結(jié)果往往求不對(duì)，出現(xiàn)的問(wèn)題就是計(jì)算錯(cuò)誤。