Question

14．若不等式（a-1）x²-x+1＞0對任意的x∈（0，+∞）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{5}{4}$，+∞）
• B． （$\frac{5}{4}$，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 當(dāng)a-1=0，即a=1時，不符合題意，當(dāng)a-1≠0，即a≠1時，若不等式（a-1）x²-x+1＞0對任意的x∈（0，+∞）恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{△=1-4（a-1）＜0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{\frac{1}{2（a-1）}≤0}\\{（a-1）•{0}^{2}-0+1＞0}\end{array}\right.$，求解可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)a-1=0，即a=1時，不等式（a-1）x²-x+1＞0可化為：-x+1＞0，即x＜1，不符合題意；
當(dāng)a-1≠0，即a≠1時，若不等式（a-1）x²-x+1＞0對任意的x∈（0，+∞）恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{△=1-4（a-1）＜0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{\frac{1}{2（a-1）}≤0}\\{（a-1）•{0}^{2}-0+1＞0}\end{array}\right.$②．
解①得：$a＞\frac{5}{4}$；解②得：a∈∅．
∴實數(shù)a的取值范圍為（$\frac{5}{4}$，+∞）．
故選：B．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．