Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，用作差法證明：f（ ）＜ [f（x1）+f（x2）]；
（2）已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|f（x）|≤1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）=ax2+x，

∴f（ ）﹣ [f（x1）+f（x2）]=

= = = ．

∵a＞0，又 ，∴ ，

∴f（ ）＜ [f（x1）+f（x2）]

（2）解：由題意，得﹣1≤ax2+x≤1對(duì)x∈[0，1]恒成立．

1°當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；

2°當(dāng)x≠0時(shí)， ．

令 ∈[1，+∞），

記g（t）=t2﹣t≥0，∴a≤0，

h（t）=﹣t2﹣t≤﹣2，則a≥﹣2．

∴﹣2≤a≤0，又a≠0．

∴﹣2≤a＜0．

【解析】（1）把f（ ）、 [f（x1）+f（x2）]分別代入函數(shù)解析式，作差判斷差的符號(hào)證明f（ ）＜ [f（x1）+f（x2）]；（2）由|f（x）|≤1恒成立，得﹣1≤ax2+x≤1對(duì)x∈[0，1]恒成立，當(dāng)x=0時(shí)，可得a∈R；當(dāng)x≠0時(shí)，分離參數(shù)a得到 ，令 ∈[1，+∞），求出二次函數(shù)的最值可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減)．