Question

設函數(shù)f（x）=1-2a+a²-2acosx-2sin²x．
（1）當a=4時，求f（x）的最大值；
（2）證明：當a∈[-2，2]時，f（x）≥-3．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化正弦為余弦，然后換元，利用配方法求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）化正弦為余弦，然后換元，對a分類求出函數(shù)的最小值，然后由a的范圍求出最小值的最小值，則答案可求．

解答： （1）解：當a=4時，f（x）=1-2a+a²-2acosx-2sin²x=-2sin²x-8cosx+9=2cos²x-8cosx+7，
令cosx=t，t∈[-1，1]，
則y=2t²-8t+7=2（t-2）²-1，
∴當t=-1時，y_max=17；
（2）證明：f（x）=1-2a+a²-2acosx-2sin²x=2cos²x-2acosx+a²-2a-1，
令cosx=t，t∈[-1，1]，
則y=2t²-2at+a²-2a-1，
對稱軸方程為t=

a

2

，
當a＜-2時，函數(shù)的最小值為2×（-1）²+2a-2a-1=3；
當a＞2時，函數(shù)的最小值為2×1²-2a+a²-2a-1=a²-4a+3=（a-2）²-1≥-1；
當-2≤a≤2時，函數(shù)的最小值為2•(

a

2

)2-2a•

a

2

+a²-2a-1=

1

2

（a-2）²-3．
∴當a∈[-2，2]時，f（x）≥-2＞-3≥-3．

點評：本題考查了三角函數(shù)的值域，考查了利用換元法求二次函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．