Question

設(shè)橢圓，（{a＞b＞0}）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率，右準(zhǔn)線為l，M，N是l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
（Ⅰ）若，求a，b的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)|MN|取最小值時(shí)，與共線．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)，根據(jù)題意由得，由，得，，由此可以求出a，b的值．
（Ⅱ）|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=6a²．當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，|MN|取最小值，由能夠推導(dǎo)出與共線．
解答：解：由a²-b²=c²與，得a²=2b²，，l的方程為
設(shè)
則
由得①
（Ⅰ）由，得②③
由①、②、③三式，消去y₁，y₂，并求得a²=4
故
（Ⅱ）證明：|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=6a²
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，|MN|取最小值
此時(shí)，
故與共線．
點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查橢圓中的基本量的關(guān)系，進(jìn)而求橢圓待定常數(shù)，考查向量的綜合應(yīng)用；熟悉橢圓各基本量間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，熟練地進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，設(shè)而不求消元的思想在圓錐曲線問(wèn)題中的靈活應(yīng)用．