Question

17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知acosB=bcosA，邊BC上的中線長為4．
（Ⅰ）若$A=\frac{π}{6}$，求c；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由acosB=bcosA及正弦定理得sinAcosB=sinBcosA，解得sin（A-B）=0，可得$B=A=\frac{π}{6}$，解得$c=\sqrt{3}a$，由余弦定理即可解得c的值．
（Ⅱ） 由A=B知c=2acosA，利用余弦定理可解得${a^2}=\frac{64}{{1+8{{cos}^2}A}}$，由三角形面積公式可求$S=\frac{1}{2}acsinA=\frac{64sinAcosA}{{{{sin}^2}A+9{{cos}^2}A}}$，由基本不等式得$S≤\frac{32}{3}$，從而得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（Ⅰ） 由acosB=bcosA及正弦定理得sinAcosB=sinBcosA，…（1分）
所以sin（A-B）=0，
故$B=A=\frac{π}{6}$，…（3分）
所以$c=\sqrt{3}a$，由余弦定理得$16={c^2}+{（\frac{a}{2}）^2}-2c•\frac{a}{2}cos\frac{π}{6}$，
解得$c=\frac{{8\sqrt{21}}}{7}$…（6分）
（Ⅱ） 由A=B知c=2acosA，及$16={c^2}+{（\frac{a}{2}）^2}-2c•\frac{a}{2}cosA$，解得${a^2}=\frac{64}{{1+8{{cos}^2}A}}$…（8分）

所以△ABC的面積$S=\frac{1}{2}acsinA=\frac{64sinAcosA}{{{{sin}^2}A+9{{cos}^2}A}}$…（10分）

由基本不等式得$S≤\frac{32}{3}$，…（13分）

當(dāng)且僅當(dāng)sinA=3cosA時，等號成立．
所以△ABC面積的最大值為$\frac{32}{3}$．…（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦和余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．