Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C₁：2x²-y²=1．
（1）設(shè)F是C₁的左焦點(diǎn)，E是C₁右支上一點(diǎn)．若|EF|=2$\sqrt{2}$，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)斜率為1的直線l交C₁于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x²+y²=1相切，求證：OP⊥OQ；
（3）設(shè)橢圓C₂：4x²+y²=1．若M、N分別是C₁、C₂上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

Answer 1

分析 （1）利用|EF|=2$\sqrt{2}$，建立方程，即可求E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，通過(guò)直線PQ與已知圓相切，得到b²=2，通過(guò)求解$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0．證明PO⊥OQ．
（3）當(dāng)直線ON垂直x軸時(shí)，直接求出O到直線MN的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．當(dāng)直線ON不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$），推出直線OM的方程為y=-$\frac{1}{k}$x，求出|OM|²，|ON|²，設(shè)O到直線MN的距離為d，通過(guò)（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，求出d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．推出O到直線MN的距離是定值．

解答 （1）解：左焦點(diǎn)$F（-\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\;0）$．
設(shè)E（x，y），則$|EF{|^2}={（x+\frac{{\sqrt{6}}}{2}）^2}+{y^2}={（\sqrt{3}x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}$，…（2分）
由E是右支上一點(diǎn)，知$x≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$|EF|=\sqrt{3}x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}=2\sqrt{2}$，得$x=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
所以$E（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\;±\sqrt{2}）$．…（4分）
（2）證明：設(shè)直線PQ的方程是y=x+b．因直線與已知圓相切，
故$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=1，即b=$\sqrt{2}$．…（6分）
由y=x+b與雙曲線C₁：2x²-y²=1聯(lián)立，得x²-2bx-b²-1=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=2b，x₁x₂=-b²-1，
又y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）．
所以$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=2（-1-b²）+2b²+b²
=b²-2=0．
故PO⊥OQ．…（10分）
（3）當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)，
|ON|=1，|OM|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則O到直線MN的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí)，
設(shè)直線ON的方程為y=kx（顯然|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$），則直線OM的方程為y=-$\frac{1}{k}$x．
由y=kx與橢圓方程聯(lián)立，得x²=$\frac{1}{4+{k}^{2}}$，y²=$\frac{{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，所以|ON|²=$\frac{1+{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$．
同理|OM|²=$\frac{1+{k}^{2}}{2{k}^{2}-1}$．…（13分）
設(shè)O到直線MN的距離為d，因?yàn)椋▅OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
所以$\frac{1}{cmqig4u^{2}}$=$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$=3，即d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
綜上，O到直線MN的距離是定值．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，圓錐曲線的綜合，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，設(shè)而不求的解題方法，點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查計(jì)算能力．