Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，
（1）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]的最大值和最小值，并給出取得最值時(shí)的x值；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）首先對函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．
（2）根據(jù)（1）的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步利用正弦和余弦定理求出三角形的邊長．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

cos2x+1

2

-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1
由于：x∈[0，

π

2

]
所以：-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

則：-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1
則：-

3

2

≤f(x)≤0
即當(dāng)x=

π

3

時(shí)，函數(shù)取最大值，
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最小值．
（2）由于f（x）=sin(2x-

π

6

)-1
則：f（C）=0
解得：sin(2C-

π

6

)-1=0
0＜C＜π
所以：C=

π

3

又：sinB=2sinA
則：b=2a
利用余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC
由于c=

3

所以解得：a=1
進(jìn)一步求得：b=2

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用三角函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，余弦和正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．