Question

已知f（x）=

3

sinxcosx+3sin²x-

3

2

（1）求f（x）的最小正周期及f（

π

12

）；
（2）求y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[

π

3

，

5π

6

]時，求y=f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=

3

sin（2x-

π

3

），從而由周期公式可求f（x）的最小正周期，可求f（

π

12

）；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z即可解得所求的函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）由x∈[

π

3

，

5π

6

]，可得2x-

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，從而由正弦函數(shù)的性質(zhì)可解得f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2x+3×

1-cos2x

2

-

3

2

…（1分）
=

3

2

sin2x+

3

2

-

3

2

cos2x-

3

2

=

3

2

sin2x-

3

2

cos2x…（3分）
=

3

（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）
=

3

sin（2x-

π

3

），
∴由周期公式可得：T=

2π

2

=π．
∴f（

π

12

）=

3

sin（2×

π

12

-

π

3

）=-

3

2

．…（5分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z…（6分）
得kπ-

π

12

≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z…（8分）
∴所求的函數(shù)單調(diào)區(qū)間為[kπ-

π

12

，

5π

12

+kπ]，k∈Z…（9分）
（3）∵x∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴2x-

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]…（10分）
∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴

3

sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，

3

]，…（13分）
∴f（x）的值域?yàn)閇-

3

2

，

3

]．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．