Question

f（x）=cosxcos（x-θ）-

1

2

cosθ，0＜θ＜π，f（

π

3

）的值最大，則2f（

3x

2

）在x∈[0，

π

3

]上的最小值是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：由三角函數(shù)公式可得f（x）=

1

2

cos（2x-θ），由最值結合θ范圍可確定θ的值，從而求得f（x），求得2f（

3x

2

）的函數(shù)解析式，根據(jù)自變量的取值范圍即可求出最小值．

解答： 解：由題意可得f（x）=cosxcos（x-θ）-

1

2

cosθ
=cos2xcosθ+sinxcosxsinθ-

1

2

cosθ
=

1+cos2x

2

cosθ+sinxcosxsinθ-

1

2

cosθ
=

1

2

cos（2x-θ）
又∵當x=

π

3

時f（x）取得最大值，
∴2×

π

3

-θ=2kπ，k∈Z，可得：θ=

2π

3

-2kπ，k∈Z，
又∵0＜θ＜π，
∴θ=

2π

3

…6分
∴f（x）=

1

2

cos（2x-

2π

3

），
∵x∈[0，

π

3

]，
∴2x-

2π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴2f（

3x

2

）=cos（3x-

2π

3

）∈[-

1

2

，

3

2

]．
故答案為：-

1

2

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的圖象與性質，屬于基本知識的考查．