Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\sqrt{3}$x，焦點到漸近線的距離為$\sqrt{3}$．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）直線l：y=kx與雙曲線左、右兩支分別交于A，B兩點，直線l′：y=-$\frac{1}{k}$x與雙曲線左支交于C點，求三角形ABC面積的最小值及取最小值時k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點到漸近線的距離建立方程關系進行求解即可．
（2）聯(lián)立方程組求出A，C的坐標關系，結(jié)合三角形的面積公式進行求解，利用基本不等式求出最值即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設焦點F（c，0）到漸近線y=$\sqrt{3}$x的距離是$\sqrt{3}$，
則d=$\frac{\sqrt{3}c}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}c}{2}=\sqrt{3}$，則c=2，
∵$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{3}$a，
平方得b²=3a²=c²-a²=4-a²，
則a²=1，a=1，b=$\sqrt{3}$，
則雙曲線的標準方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）∵直線y=kx與y=-$\frac{1}{k}$x互相垂直，
∴A，B關于原點對稱，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}×2$OA•OC=OA•OC，
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得x²=$\frac{3}{3-{k}^{2}}$，由x²=$\frac{3}{3-{k}^{2}}$＞0得k²＜3，即x₁²=$\frac{3}{3-{k}^{2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得x²=$\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}-1}$，由x²=$\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}-1}$＞0得k²＞$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$＜k²＜3，此時x₂²=$\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}-1}$，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}×2$OA•OC=OA•OC=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$$•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）{{x}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（1+\frac{1}{{k}^{2}}）{{x}_{2}}^{2}}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）•\frac{3}{3-{k}^{2}}}•\sqrt{（1+\frac{1}{{k}^{2}}）•\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{9（1+{k}^{2}）^{2}}{（3-{k}^{2}）（3{k}^{2}-1）}}$=$\sqrt{\frac{9{k}^{4}+18{k}^{2}+9}{-3{k}^{4}+10{k}^{2}-3}}$
=$\sqrt{-3+\frac{48{k}^{2}}{-3{k}^{4}+10{k}^{2}-3}}$=$\sqrt{-3+\frac{48}{-3（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）+10}}$≥$\sqrt{-3+\frac{48}{-3×2\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+10}}$=$\sqrt{-3+\frac{48}{-6+10}}$=$\sqrt{-3+12}=\sqrt{9}=3$，
當且僅當k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k²=1，k=±1時，取得號，
即三角形ABC面積的最小值是3，此時取最小值時k的值為±1．

點評 本題主要考查雙曲線標準方程以及性質(zhì)的應用，利用方程組法求出交點坐標以及利用基本不等式是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．