Question

16．已知α、β∈（0，$\frac{π}{2}}$）且α＜β，若sinα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，求：
①cosβ的值；
②tan$\frac{β}{2}$的值．

Answer 1

分析 ①根據(jù)α，β的范圍計(jì)算cosα，sin（α-β），利用兩角差的余弦公式計(jì)算．
②利用①的計(jì)算結(jié)果和半角公式進(jìn)行解答．

解答 解：①∵α、β∈（0，$\frac{π}{2}}$）且α＜β，sinα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，
∴cosα=$\frac{4}{5}$，sin（α-β）=-$\frac{5}{13}$，
∴cosβ=[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=$\frac{4}{5}$×$\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}$×（-$\frac{5}{13}$）=$\frac{33}{65}$；
②∵cosβ=$\frac{33}{65}$，sinβ=$\frac{56}{65}$，
∴tan$\frac{β}{2}$=$\frac{sinβ}{1+cosβ}$=$\frac{\frac{56}{65}}{1+\frac{33}{65}}$=$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩角差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．