Question

4．在平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足AP=$\sqrt{5}$，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），則2λ+μ的最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{15}}{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{5}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{6}$

Answer 1

分析 可作出圖形，根據(jù)題意可知λ，μ＞0，根據(jù)條件對(duì)$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得到5=4λ²+2λμ+μ²=（2λ+μ）²-2λμ，由基本不等式即可得出2λ+μ的范圍，從而便可得出2λ+μ的最大值．

解答 解：如圖，依題意知，λ＞0，μ＞0；
根據(jù)條件，
5=${\overrightarrow{AP}}^{2}={λ}^{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+2λμ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{μ}^{2}{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=4λ²+2λμ+μ²
=$（2λ+μ）^{2}-2λμ≥（2λ+μ）^{2}-（\frac{2λ+μ}{2}）^{2}$=$\frac{3}{4}（2λ+μ）^{2}$；
∴$（2λ+μ）^{2}≤\frac{20}{3}$；
∴$2λ+μ≤\frac{2\sqrt{15}}{3}$；
∴2λ+μ的最大值為$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及配方法的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，一元二次不等式的解法．