Question

20．已知△ABC三個頂點坐標分別為A（0，0），B（4，0），C（0，3），點P是△ABC內(nèi)切圓上一點．
（1）求△ABC內(nèi)切圓的方程；
（2）求以PA、PB、PC為直徑的三個圓的面積之和的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得AB⊥AC，AB=4，AC=3，BC=5，由此求出△ABC內(nèi)切圓的半徑和圓心，由此能求出△ABC內(nèi)切圓的方程．
（2）三個圓面積之和的最值問題實質(zhì)上是求|PA|²+|PB|²+|PC|²的最值，由于P是△ABC內(nèi)切圓上的點，若想找P點坐標必須先從△ABC內(nèi)切圓的方程入手．

解答 解：（1）∵△ABC三個頂點坐標分別為A（0，0），B（4，0），C（0，3）
∴AB⊥AC，AB=4，AC=3，BC=$\sqrt{16+9}$=5，
∴△ABC內(nèi)切圓的半徑r=$\frac{3+4-5}{2}$=1，圓心（1，1），
∴△ABC內(nèi)切圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=1．
（2）設P（x，y），由△ABC的內(nèi)切圓方程（x-1）²+（y-1）²=1，得x²+y²-2x-2y+1=0．①
|PA|²+|PB|²+|PC|²
=（x-4）²+y²+x²+（y-3）²+x²+y²
=3x²+3y²-8x-6y+25，②
由①知x²+y²-2y=2x-1，
將其代入②，有|PA|²+|PB|²+|PC|²=3（2x-1）-8x+25=-2x+22，
∵x∈[0，2]，∴|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大值為22，最小值為18，
以PA、PB、PC為直徑的三個圓的面積之和：
S=$π（\frac{|PA|}{2}）^{2}$+$π（\frac{|PB|}{2}）^{2}$+$π（\frac{|PC|}{2}）^{2}$
=$\frac{π}{4}$（|PA|²+|PB|²+|PC|²），
∴以PA、PB、PC為直徑的三個圓的面積之和的最大值為$\frac{11π}{2}$，最小值為$\frac{9π}{2}$．

點評 本題考查三角形內(nèi)切圓方程的求法，考查三個圓的面積之和的最值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用．