Question

【題目】如果方程y|y|＝1所對應的曲線與函數(shù)y＝f（x）的圖象完全重合，那么對于函數(shù)y＝f（x）有如下結(jié)論：

①函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減；

②y＝f（x）的圖象上的點到坐標原點距離的最小值為1；

③函數(shù)f（x）的值域為（﹣∞，2]；

④函數(shù)F（x）＝f（x）+x有且只有一個零點.

其中正確結(jié)論的序號是_____.

Answer 1

【答案】②④

【解析】

由題意分類畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象逐一核對四個選項得答案.

當y≥0時，方程y|y|＝1化為（y≥0），

當y＜0時，方程y|y|＝1化為（y＜0）.

作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：

由圖可知，函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)，故①錯誤；

y＝f（x）的圖象上的點到坐標原點距離的最小值為1，故②正確；

函數(shù)f（x）的值域為（﹣∞，1]，故③錯誤；

雙曲線的漸近線方程為y，故函數(shù)y＝f（x）與y＝﹣x的圖象只有1個交點，即函數(shù)F（x）＝f（x）+x有且只有一個零點，故④正確.

故答案為：②④.