Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)均在橢圓上，點(diǎn)在拋物線上，若的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或．

【解析】

（1）運(yùn)用離心率公式和垂直于軸的弦長(zhǎng)公式，以及的關(guān)系解方程可得，進(jìn)而得到所求橢圓的方程；

（2）設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形的重心坐標(biāo)公式，可得的坐標(biāo)，代入拋物線方程，結(jié)合三角形的面積公式，計(jì)算可得的坐標(biāo)．

（1）根據(jù)題意得，又因?yàn)?/span>，解得，則，

所以橢圓的方程為：；

（2）設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，可得，

①

設(shè)，，

可得，

，

由在拋物線上，可得，

則 ②，

由

，

則

，

可得③，將②代入③整理可得，

解得或，相應(yīng)的或1．

所以，或．