Question

13．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓上一點(diǎn)M作橢圓的切線，交直線x=-8于點(diǎn)P，試問：以PM為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用題設(shè)條件，根據(jù)焦點(diǎn)和橢圓的定義求得c和a，進(jìn)而求得b，由此能求出橢圓的方程；
（2）設(shè)M的坐標(biāo)，得到過點(diǎn)M的橢圓的切線方程，求出兩種特殊情況的以PM為直徑的圓所過的定點(diǎn)，然后證明一般情況下成立得答案．

解答 解：（1）∵中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)，
∴c=2，左焦點(diǎn)F′（-2，0），
∴2a=|AF|+|AF′|=$\sqrt{（2+2）^{2}+{3}^{2}}+\sqrt{（2-2）^{2}+{3}^{2}}=8$，
解得c=2，a=4，
又a²=b²+c²，
∴b²=12，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）設(shè)M（x₀，y₀），
則橢圓過點(diǎn)M的切線方程為$\frac{{x}_{0}x}{16}+\frac{{y}_{0}y}{12}=1$，
取x=-8，得y=$\frac{6{x}_{0}+12}{{y}_{0}}$，
∴P（-8，$\frac{6{x}_{0}+12}{{y}_{0}}$），
當(dāng)M為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，M（0，$2\sqrt{3}$），此時(shí)P（-8，$2\sqrt{3}$），
PM的中點(diǎn)為（-4，$2\sqrt{3}$），
則以PM為直徑的圓的方程為$（x+4）^{2}+（y-2\sqrt{3}）^{2}=16$，
取y=0，可得圓過定點(diǎn)G（-2，0），H（-6，0）；
同理當(dāng)M為橢圓下頂點(diǎn)時(shí)，可得以PM為直接的圓過定點(diǎn)G（-2，0），H（-6，0）．
∵$\overrightarrow{MG}=（-2-{x}_{0}，-{y}_{0}）$，$\overrightarrow{PG}=（6，-\frac{6{x}_{0}+12}{{y}_{0}}）$，
∴$\overrightarrow{MG}•\overrightarrow{PG}=-12-6{x}_{0}+6{x}_{0}+12=0$，
∴以PM為直徑的圓過定點(diǎn)G（-2，0）；
∵$\overrightarrow{MH}=（-6-{x}_{0}，-{y}_{0}）$，$\overrightarrow{PH}=（2，-\frac{6{x}_{0}+12}{{y}_{0}}）$，
∴$\overrightarrow{MH}•\overrightarrow{PH}=-12-2{x}_{0}+6{x}_{0}+12=4{x}_{0}≠0$．
故以PM為直徑的圓過定點(diǎn)G（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了過橢圓上點(diǎn)的切線方程，訓(xùn)練了恒過定點(diǎn)問題的求解方法，是中檔題．