Question

2．給出下列命題：
①直線l的方向向量為$\overrightarrow{a}$=（1，-1，2），直線m的方向向量$\overrightarrow$=（2，1，-$\frac{1}{2}$），則l與m垂直；
②直線l的方向向量$\overrightarrow{a}$=（0，1，-1），平面α的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），則l⊥α；
③平面α、β的法向量分別為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，3），$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，2），則α∥β；
④平面α經(jīng)過三點A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），向量$\overrightarrow{n}$=（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t=1．
其中真命題的是①④．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析 ①根據(jù)直線l、m的方向向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$垂直，得出l⊥m；
②根據(jù)直線l的方向向量$\overrightarrow{a}$與平面α的法向量$\overrightarrow{n}$垂直，不能判斷l(xiāng)⊥α；
③根據(jù)平面α、β的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$與$\overrightarrow{{n}_{2}}$不共線，不能得出α∥β；
④求出向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$的坐標表示，再利用平面α的法向量$\overrightarrow{n}$，列出方程組求出u+t的值．

解答 解：對于①，∵$\overrightarrow{a}$=（1，-1，2），$\overrightarrow$=（2，1，-$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1×2-1×1+2×（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴直線l與m垂直，①正確；
對于②，$\overrightarrow{a}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{n}$=0×1+1×（-1）+（-1）×（-1）=0，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{n}$，∴l(xiāng)∥α或l?α，②錯誤；
對于③，∵$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，3），$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，2），
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}$與$\overrightarrow{{n}_{2}}$不共線，
∴α∥β不成立，③錯誤；
對于④，∵點A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），
向量$\overrightarrow{n}$=（1，u，t）是平面α的法向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1+u+t=0}\\{-1+u=0}\end{array}\right.$；
則u+t=1，④正確．
綜上，以上真命題的序號是①④．
故答案為：①④．

點評 本題考查了空間向量的應用問題，也考查了直線的方向向量與平面的法向量的應用問題，是綜合性題目．