【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)當(dāng)時,函數(shù)有兩個極值點,求的取值范圍;
(2)若在點處的切線與軸平行,且函數(shù)在時,其圖象上每一點處切線的傾斜角均為銳角,求的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)求得導(dǎo)函數(shù),題意說明有兩個零點,即有兩個解,或直線與函數(shù)的有兩個交點,可用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)(單調(diào)性,極值等),由零點存在定理即可得的范圍;
(2)首先題意說明,,從而有且,其次時,恒成立,因此的最小值大于0,這可由導(dǎo)數(shù)來研究,從而得出的范圍.
(1)當(dāng)時,,,
所以有兩個極值點就是方程有兩個解,
令,則.
當(dāng)時,在區(qū)間上恒成立,則此時單調(diào)遞增,
又為連續(xù)函數(shù),由零點存在定理可知:
最多只有一個零點,也即最多只有一個解,不符合題意;
當(dāng)時,令,解得,
故在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
,
若,即時,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知:
此時,故無解,不符合題意;
若,即時,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知:
此時,只有一個解,不符合題意;
若,即時,
又,,(最后進(jìn)行證明)
又,故由零點存在定理可知:
此時有兩個根,滿足題意.
綜上.
現(xiàn)證:,
令,故,
故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,
故,
即證.
(2)函數(shù)在點處的切線與軸平行,
所以且,因為,
所以且;
在時,
其圖象的每一點處的切線的傾斜角均為銳角,
即當(dāng)時,恒成立,即
,
令,∴
設(shè),,
因為,所以,,∴,
∴在單調(diào)遞增,即在單調(diào)遞增,
∴,
當(dāng)且時,,
所以在單調(diào)遞增;
∴成立
當(dāng),因為在單調(diào)遞增,
所以,
,
所以存在有;
當(dāng)時,,單調(diào)遞減,
所以有,不恒成立;
所以實數(shù)的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在單位正內(nèi)任取一點P,以PA、PB、PC為邊生成.
(1)當(dāng)分別為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時,求出點P的軌跡.
(2)證明:當(dāng)的周長取最小值時,面積取最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性并證明;
(2)用定義證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù):
(3)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確的個數(shù)是( )
①由五個面圍成的多面體只能是三棱柱;
②由若干個平面多邊形所圍成的幾何體是多面體;
③僅有一組對面平行的五面體是棱臺;
④有一面是多邊形,其余各面是三角形的幾何體是棱錐.
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,三國時代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(大小忽略不計,取),則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為( )
A. 134 B. 67 C. 200 D. 250
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓臺的上、下底面半徑分別為5cm,10cm,母線長,從圓臺母線的中點拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到點.求:
(1)繩子的最短長度;
(2)在繩子最短時,求上底面圓周上的點到繩子的最短距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了對某課題進(jìn)行研究,分別從A,B,C三所高校中用分層隨機(jī)抽樣法抽取若干名教授組成研究小組,其中高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中)
(1)若A,B兩所高校中共抽取3名教授,B,C兩所高校中共抽取5名教授,求m,n;
(2)若高校B中抽取的教授數(shù)是高校A和C中抽取的教授總數(shù)的,求三所高校的教授的總?cè)藬?shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E為DC邊的中點,沿AE將△ADE折起,在折起過程中,有幾個正確( )
①ED⊥平面ACD ②CD⊥平面BED
③BD⊥平面ACD ④AD⊥平面BED
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在底面邊長為、高為的正六棱柱展廳內(nèi),長為,寬為的矩形油畫掛在廳內(nèi)正前方中間.
(1)求證:平面平面;
(2)當(dāng)游客在上看油畫的縱向視角(即)最大時,求與油畫平面所成的角.
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